Hola muchachos, esta es su actividad de esta semana:
El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (Basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna. Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.
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¿Qué es el valor absoluto de un número? |
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Ecuaciones e Inecuaciones con valor absoluto
Nuestro objetivo en este capítulo es lograr que el estudiante resuelva ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto de expresiones algebraicas de la forma , donde y son constantes reales con , y es una variable real. Para esto conviene recordar la definición de valor absoluto, la cual establece que:
Definicion:
Para cada número real , se define su valor absoluto y se denota , de la siguiente manera:
a. ó
b. si
Ejemplo 2.32 Si |x?3| ‹ 2 =› |2x?6| < e, que valor puede tener e.
Solución.
|x?3| ‹ 2 =› |2x?6| < 4 por lo tanto e puede ser cualquier número mayor o igual a 4.
Ejemplo 2.33 Si |x?2| ‹ d =› |5x?10| < 2 que valor puede tener d.
Solución.
Vemos que |5x?10| < 2 sí
5|x?2| < 2, o sea si
|x?2| < 2/5, entonces d puede tener cualquier valor menor o igual a 2/5.
Definición. Valor absoluto. El valor absoluto de un número real x se representa por |x| y se define por
$
El valor absoluto es muy importante en cálculo porque nos ayuda a representar desigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poder formalizar el concepto de límite.
Teorema
i) $
ii) $ \ $}
iii) $
iv) $ \hspace{10} -a > x \hspace{5} o \hspace{5} x > a $}
La última propiedad se acostumbra escribir
v) $ \hspace{10} x a $}
pero la escribimos de la otra forma para que sea más fácil de recordar, pero hay que tener en cuenta que el caso (iv) es una desigualdad doble y por lo tanto una intersección entre las dos desigualdades simples y en (v) aparecen dos desigualdades con la disyunción y por lo tanto es una unión.
Observando la definición debemos recordar que ?x representa el inverso aditivo de x y no necesariamente es un número negativo.
Ejemplo Resolver la ecuación |5x+1| = 4
Solución.
5x+1 = 4 ó 5x+1 = −4, por lo que
x = 1 ó x = −3/5, una sustitución directa nos indica que el conjunto solución es S = {−3/5, 1}.
Es conveniente enunciar en este punto las principales propiedades de valor absoluto, sobretodo porque serán muy útiles para la solución de desigualdades
Teorema Propiedades de valor absoluto (i) |x| › 0 (ii) |x| = 0 ?a>x o x > a
Ejemplo Resolver |2x-1| < 7
Solución.
Vemos que |2x-1| < 7 es equivalente a
−7 < 2x-1 < 7, y también a
−6 < 2x < 8
−3 < x < 4 Por lo que la solución es el intervalo (−3,4), el supremo es 4, el ínfimo es −3 y no tiene ni máximo ni mínimo.
Resolver |3x+5| › 4
JHORELIS LOPEZ 020.
El valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número entero es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica.
El valor absoluto de cero es cero.
El valor absoluto de 3 es 3.
El valor absoluto de -3 es 3.
Simbólicamente:
/3/ = 3
/-3/ = 3
/0/ = 0
Valor absoluto de un número entero : Ee el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre barras.
GLEIDY LAYA , seccion:I-020
El valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número entero es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica.
El valor absoluto de cero es cero.
El valor absoluto de 3 es 3.
El valor absoluto de -3 es 3.
Simbólicamente:
/3/ = 3
/-3/ = 3
/0/ = 0
el valor absoluto:el mismo nos permite a nosotros como estudiante lograr resolver ecuaciones de un numero entero , es gran importancia ya que nos ayuda a adiferenciar la distancia entre un numero y el cero.
VALOR ABSOLUTO EL valor absoluto de un numero entero:es la distacia que existe entre un numero que ya esta ese numero se encuentra enlasado de sierta forma con el cero en la recta numerica.el valor absoluto de cero es cero EL VALOR ABSOLUTO DE 3 ES 3 EL VALOR ABSOLUTO DE-3 ES 3 LO QUE SIMBOLICAMENTE SERIA: ASI: /3/=3 /-3/=3 Y /0/=0 VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ENTERO:ES ELNUMERO NATURAL QUE SIGUE AL SIGNO.SE INDICA PONIENDO EL NUMERO ENTERO ENTRE BARRAS
valor absoluto (llamado tanbien modulo ) de un numero complejo Z presenta con \z\ un ej \z\ = Re(z)2+Im(z)2 podemos notar que el valor absoluto de un numero siempre tomara valores no-negativos es decir \/zEC\Z\Z0
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número entero es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica.El valor absoluto de cero es cero
El valor absoluto de 3 es 3.
El valor absoluto de -3 es 3.
Simbólicamente:
/3/ = 3
/-3/ = 3
/0/ = 0
el valor absoluto:el mismo nos permite a nosotros como estudiante lograr resolver ecuaciones de un numero entero , es gran importancia ya que nos ayuda a adiferenciar la distancia entre un numero y el cero.
EL VALOR ABSOLUTO DE -5 ES IGUAL A 5
/5/ =5
/-5/=5
/0/=0
ALUMNA: KATERIN ALVAREZ
SECCION : I_ 020-D
CI: 18999882
CARRERA : ENFERMERIA
PROFESORA : BETTY ALBERT
El valor absoluto de un número real nunca es negativo
Al valor absoluto de un número también se le denomina Módulo
lo cual se puede decir que es el numero entero y natural de dicho numero.
valor: /3/=3
/-3/=3
/0/= 0
Valor absoluto y valor relativo
Cada dígito tiene dos valores: el absoluto y el relativo. El valor absoluto corresponde a su valor como número natural; por ejemplo, el tres en el número 456 132 representa tres unidades.
El valor relativo en la misma cantidad es el que adquiere por su posición en la cifra. En este caso, el 3 vale 30 unidades, porque se encuentra en el lugar de las decenas, de acuerdo con nuestro sistema decimal de notación de los números, que es posicionsinal.
Seguro que has oído hablar del valor absoluto. El valor absoluto de un número es igual a dicho número prescindiendo de su signo. Por tanto:
El valor absoluto de 0 es 0.
El valor absoluto de 3 es 3.
El valor absoluto de 3 es 3.
Se representa de la siguiente forma:
/3/=3
/-3/=3
/0/= 0
Podemos encontrarnos con ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Aunque no hay un método definido para resolverlas, lo único que necesitas es tener claro el concepto de valor absoluto. Observa detenidamente el ejemplo:
/x-3/-2
La ecuación con valor absoluto es igual a:
- ( x 3 ) = 2 y x 3 = 2
las cuales se resolverían teniendo dos posibles soluciones.
¿Qué es el valor absoluto de un número?
El valor absoluto de un número es la distacia entre dos puntos, si la cantidad es negativa o positiva, lo que nos indica es el sentido, pero la distancia entre los dos puntos que delimita la cantidad es la misma.
Ej. Veamos los números –7 y 7 y representaremos su valor absoluto con dos barritas:
/-7/= 7
/7/=7
Seguro que has oído hablar del valor absoluto. El valor absoluto de un número es ... Podemos encontrarnos con ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. ...
El valor absoluto de un nómero es la distancia que le separa del cero en la recta numérica
Se escribe entre barras tal como se te indica en los siguientes ejemplos:
el valor absoluto de -5 es 5 y se escribe así: |-5|= 5
el valor absoluto de +3 es 3 y se escribe así: |+3|= 3
VALOR ABSOLUTO. MATEMÁTICAS ESO ... El valor absoluto de un Siendo x un número real cualquiera, se llama valor absoluto de x y se representa |x| al número real que verifica las siguientes condiciones:
|x| = x si, y solo si, x > 0 ó x = 0
|x| = -x si, y solo si, x 0, mientras que |-4| = -(-4) = 4 por ser -4 0 IxI = x
Cuando x < 0 IxI = -x
O también, como en la definición que pones,
IxI es el máximo entre x y -x.
Ejemplos:
I3I = 3
I-3I = 3
I4I = max {4, -4} = 4
I-5I = max {-5, 5} = 5
El valor absoluto nunca puede ser negativo,
y el valor absoluto de cero es cero.
SECCION:025
El valor absoluto de un número es un número positivo o es cero. El valor absoluto de un número puede representar su distancia desde cero sin importar la dirección y | a - b | es la distancia entre a y b también sin importar la dirección.
El valor absoluto de -15 es 15. El valor absoluto de +15 es 15.
El símbolo para el valor absoluto consiste en encerrar el número entre barras verticales tales como |-20| = 20 y leer “El valor absoluto de -20 es igual a 20.
Propiedades del valor absoluto
Enunciaremos a continuación algunas propiedades del valor absoluto, las cuales podrán ser utilizadas para facilitar el trabajo en la resolución de ecuaciones o inecuaciones que incluyen valor absoluto.
VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad prescindiendo del signo o sentido de la cantidad.
EJEMPLO:
1) El valor absoluto de +$8 es $8.
2) El valor absoluto de -$20 es $20
3) El valor absoluto de -7 es +7
la seccion 02
Valor absoluto
Una de las expresiones utilizadas en matemáticas es el valor absoluto de un número, que se definirá en la utilización de desigualdades.
El valor absoluto de un número es un número positivo o es cero. El valor absoluto de un número puede representar su distancia desde cero sin importar la dirección y | a - b | es la distancia entre a y b también sin importar la dirección.
Teorema 1
Si x es un número real y a > 0
| x | 0
El teorema lo podemos indicar de la siguiente forma:
| x | -a
| x | > a entonces x > a y x 0, x si -x o igual que a ó x -3
La solución es el intervalo: ( -3, 3 )
Nota: Al utilizar el teorema de desigualdades con valores absolutos podemos considerar a las variables como una expresión algebraica.
| x + 6 | 0, x > 3/2
-1 -1
CASO 2
Si 2x - 3 < 0, x < 3/2
VALOR ABSOLUTO:
El valor absoluto (llamado también módulo) de un número complejo z (representado como | z | )
Valor absoluto de los números reales [editar]Un número real es un número complejo con parte imaginaria igual a 0
Así, para los números reales, existe una definición alternativa de valor absoluto.
Se utiliza la función módulo para expresar la solución de la raíz de una incógnita elevada a una potencia de orden par ya que la misma tiene dos resultados vàlidos, un número y su correspondiente inverso, ya que ambos arrojan un resultado positivo al ser elevados a una potencia par. Esto no ocurre cuando el orden es impar, ya que el signo no se ve alterado por la potenciación.
Si x es un número real y a > 0
| x | 0
El teorema lo podemos indicar de la siguiente forma:
| x | -a
| x | > a entonces x > a y x 0, x si -x < 0, 0 si x = 0
LA SOLUCION:
La solución es el intervalo: ( -3, 3 )
LISSETTE K.GIL.R
VALOR ABSOLUTO...
EL VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ES UN NUMERO POSITIVO O ES CERO.
EL VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO PUEDE REPRECENTAR SU DISTANCIA DESDE CERO SIN IMPORTAR LA DIRECCION.
EL VALOR ABSOLUTO ES MUY IMPORTANTE EN CALCULOS PORQUE NOS AYUDA A REPRECENTAR DESIGUALDADES DE CONJUNTO DE NUMERO UNO DE LOS PRINCIPALES USOS ES EL PODER FORMALIZAR EL CONCEPTO.
EL VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO ES LA DISTANCIA QUE LE SEPARA
DEL CERO EN LA RECTA NUMERICA.
SE ESCRIBE ENTRE BARRA TAL COMO SE INDICA EN LOS SIGUIENTES EJEMPLOS
EL VALOR ABSOLUTO DE -5 ES 5 Y SE ESCRIBE ASI -5=5.
EL VALOR ABSOLUTO DE +3 ES 3 Y SE ESCRIBE ASI +3=3.
LISSETTE GIL.
C.I:19.003.522
I020
AULA:04
ENFERMERIA
BETTY ALBERT
El valor absoluto de un nómero es la distancia que le separa del cero en la recta numérica
Se escribe entre barras tal como se te indica en los siguientes ejemplos:
el valor absoluto de -5 es 5 y se escribe así: |-5|= 5
el valor absoluto de +3 es 3 y se escribe así: |+3|= 3
El valor absoluto (llamado también módulo) de un número complejo z (representado como | z | ) viene dado por la siguiente expresión:
Podemos notar que el valor absoluto de un número siempre tomará valores no-negativos.
omarelis bolivar 020
el valor absoluto de un nmr es la distancia entre 2 puntos si la cantidad es negativa o positiva lo que nos indica es el sentido pero la distancia entre los 2 puntos que delimita la cantidad de la misma..... tambien es muy importante en calculo porque nos ayuda a representar desigualdades y conjuntos de nmrs unos de los principales usos es el poder finalizar el concepto........
el valor absoluto de -15 es 15.
el valor absoluto de +15 es 15.
el valor absoluto de -7 es +7..
Valor absoluto
El valor absoluto (llamado también módulo) de un número complejo z (representado como | z | ) viene dado por la siguiente expresión:
Podemos notar que el valor absoluto de un número siempre tomará valores no-negativos, es decir:
La propiedad más importante del valor absoluto es la siguiente:
De forma que:
Valor absoluto de los números reales
Un número real es un número complejo con parte imaginaria igual a 0, de forma que:
Así, para los números reales, existe una definición alternativa de valor absoluto:
Se utiliza la función módulo para expresar la solución de la raíz de una incógnita elevada a una potencia de orden par ya que la misma tiene dos resultados validos, un número y su correspondiente inverso, ya que ambos arrojan un resultado positivo al ser elevados a una potencia par. Esto no ocurre cuando el orden es impar, ya que el signo no se ve alterado por la potenciación.
Evaluaciones
El máximo concepto de valor absoluto se puede utilizar para hallar la distancia entre dos puntos. En física es muy usual hablar del módulo o norma para referirse a la longitud de un vector.
Si a y b son dos puntos en la recta real entonces la distancia de a a b está dada por d(a, b) = |b - al
Si por ejemplo b = 0 y a = 5, la expresión |-5| puede leerse como |-5| es la distancia del punto 5 al origen. Observando la recta numérica se llega a la conclusión que |-5| = 5. De la misma manera, si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.
Otro ejemplo. Utilizando el mismo razonamiento anterior, la inecuación |x - 5| < 10 puede leerse como x son los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 10. Mirando en la recta se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condición pertenecen al intervalo (-5;15). A este intervalo abierto se lo denomina intervalo
El valor absoluto (llamado también módulo) de un número complejo z (representado como | z | ) viene dado por la siguiente expresión:
Podemos notar que el valor absoluto de un número siempre tomará valores no-negativos, es decir:
La propiedad más importante del valor absoluto es la siguiente:
De forma que:
el valor absoluto de un numero es un numero positivo o es cero.el valor absoluto de un numero puede representar su distancia desde cero sin importar la y A y b tambien sin importar la direccion
Ejemplos:
I3I = 3
I-3I = 3
I4I = max {4, -4} = 4
I-5I = max {-5, 5} = 5
El valor absoluto nunca puede ser negativo,
y el valor absoluto de cero es cero.
EL VALOR ABSOLUTO ES LA DISTANCIA QUE SEPARA EL CERO EN LARECTA NUMERICA SE ESCRIBE ENTRE BARRAS POR EJEMPLO: EL VOLOR ABSOLUTO DE -5 ES 5 Y SE ESCRIBE ASI:|-5| =5
EL VALOR ABSOLUTO DE +3 ES 3 Y SE ESCRIBE ASI: |+3|=3
OTRAS DE LAS EXPRECIONES UTILIZADAS EN LA MATEMATICA ES EL VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL, QUE SE DEFINIRÁ EN LA DEFINICION Si la desigualdad es del tipo "mayor que", ambos factores deben ser positivos o ambos negativos para que al multiplicarlos dé una cantidad positiva.
osea; ( x+R1 )( x+R2 )> 0
Si [(x+R1)>0 y (x+R2)>0]ó[(x+R1)<0 y ( x+R1)< 0]
DE DESIGUALDADES.
El valor absoluto de un nómero es la distancia que le separa del cero en la recta numérica
Se escribe entre barras tal como se te indica en los siguientes ejemplos:
el valor absoluto de -5 es 5 y se escribe así: |-5|= 5
el valor absoluto de +3 es 3 y se escribe así: |+3|= 3
KAROLINA RUIZ C
CI: 19.021.937
SECCIÓN: I-020-D
AULA: 04
El valor absoluto de un número entero es la distancia entre ese número y el cero en la recta numérica.
El valor absoluto de cero es cero.
El valor absoluto de 3 es 3.
El valor absoluto de -3 es 3.
Simbólicamente:
/3/ = 3
/-3/ = 3
/0/ = 0
Yanelly Dominguez
seccion: I-020-D Aula: 04
valor absoluto se puede utilizar para hallar la distancia entre dos puntos. En física es muy usual hablar del módulo o norma para referirse a la longitud de un vector.
Si a y b son dos puntos en la recta real entonces la distancia de a a b está dada por d(a, b) = |b - a|
Si por ejemplo b = 0 y a = 5, la expresión |-5| puede leerse como |-5| es la distancia del punto 5 al origen. Observando la recta numérica se llega a la conclusión que |-5| = 5. De la misma manera, si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.
LUISMAR SILVA
CI: 19.001.175
SECCIÓN: I-020-D
AULA: 04
el valor absoluto de un nomero es la distancia que le separa del cero en la recta numerica se escribe entre barras tal como se te indica en la siguientes ej: *el valor absoluto de -5 es 5 y se escribe asi :/-5/=5 *el valor de +3 es y es escribe asi: /+3/=3 el valor absoluto de un entero es el valor numerico si tener en cuenta si el signo es positivo o negativo .en una linea numerica es la distancia entre el numero y el cero el valor absoluto de -15 es 15 el valor absoluto de +15 es15
El valor absoluto se puede utilizar pera allar la distancia entre dos puntos. En fisica es muy usual habla de el modulo o anormal para referirse a la longitud del vector.
como por ejemplo el valor absoluto de 3 es 3 y se escribe asi /-3/=3
el valor absoluto de un numero entero es el valor numerico sin tener en cuenta si el signo es positivo o negativo
soy martinez nidia de la seccion 025 de enfermeria
*el valor absoluto se puede allar distancia entre dos puntos, es la distancia que separa al cero de la recta numerica.
*el simbolo para el valor absoluto consiste en representarlo en barras
|1-3|.
*se sea denominado (modulo).
**GISELL TREJOS**
SEC:025 ENFE
¿Que es el Valor absoluto?
El valor absoluto de un número es un número positivo o es cero. El valor absoluto de un número puede representar su distancia desde cero sin importar la dirección y | a - b | es la distancia entre a y b también sin importar la dirección.
T E O R E M A 1
Si x es un número real y a > 0
| x | 0
El teorema lo podemos indicar de la siguiente forma:
| x | -a
| x | > a entonces x > a y x 0, x si -x o igual que a ó x -3
La solución es el intervalo: ( -3, 3 )
Nota: Al utilizar el teorema de desigualdades con valores absolutos podemos considerar a las variables como una expresión agebraíca.
| x + 6 | 0, x > 3/2
-1 -1
CASO 2
Si 2x - 3 < 0, x < 3/2
* Valor Absoluto:
El valor absoluto se utiliza para medir la distancia que existe entre dos numeros.
Por ejemplo: si b = 0 y a = 5, la expresion |-5| puede leers como |-5| es la distancia del punto 5 al de origen. Observando la recta numerica se llega a la conclusion que |-5| = 5. De la misma manera si b = 0 y a = -5 se concluye que |5| = 5 y por lo tanto |-5| = |5|.
El valor absoluto se representa con barras y tambien se le denota o se le llama modulo.
Otro ejemplo de valor absoluto utilizando el razonamiento anterior puede ser: la inecuacion: |x - 5 |< 10 puede leerse como x son los puntos cuya distancia al punto 5 es menor que 10. Mirando en la recta se puede ver que los puntos que cumplen con dicha condicion pertenecen al intervalo
(-5; 15). A este intervalo abierto se le denomina intervalo.
Jonetlis Guevara.
C.I.19.755.720
seccion 0-25
Enfermeria.
el valor absoluto es la distancia que le separa del cero en la recta numerica se escribe entre barra.podemos decir quen en valor absoluto no se toma en cuenta si el signo es negativo o positivo.
ejemplo.el valor absoluto de -5 es 5 y se escribe asi |-5|=5
el valor absoluto de +3 es 3 y se escribe asi. las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas no importa en que lado de la recta real se estas representando el numerÓ
ECUACIONE CON VALOR ABSOLUTO
quiere decir que la variable esta afectada por un valor absoluto;
|x-2|+5=2x-1
arlene poriett 19770319
angy pinto 020 emfermeria
valor ABSOLUTO;el valor absoluto de un numero es un numero positivo o es ¨0¨.El valor absoluto de un numero puede representar su distancia desde ¨0¨A menos B es la distancia entre AyB;
tambien sin importar la direccion. si X es un numero real y A mayor 0 ´´X´´es menor A entonces menos A es menor X menor A .como no sabemos si X es positivo 0 es negativo debemos considerar X menor 0 y Xmayor 0
1- Valor absoluto
R: El valor absoluto (llamado también módulo) de un número complejo.Valor absoluto de los números reales. Se utiliza la función módulo para expresar la solución de la raíz de una incógnita elevada a una potencia de orden par ya que la misma tiene dos resultados vàlidos, un número y su correspondiente inverso, ya que ambos arrojan un resultado positivo al ser elevados a una potencia par. Esto no ocurre cuando el orden es impar, ya que el signo no se ve alterado por la potenciación.
VALOR ABSOLUTO:
Cualquier número a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del punto -3 al origen es 3. En notación, esto es . Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas. En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces y si está a la izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces . Esto lo escribimos en la siguiente definición.
Definición.- El valor absoluto de un número real, x, se define como:
Veamos los siguientes ejemplos
Ejemplo 1
a.-
b.- . Observe como el valor absoluto a una cantidad positiva la deja igual y a una cantidad negativa le cambia el signo.
c.- Si x>2 entonces , pues x-2>0 y así usamos la primera parte de la definición. Visto de otra manera a la expresión que le estamos tomando valor absoluto es de signo positivo y el valor absoluto lo deja igual.
d.- Si x2 la podemos interpretar como los x cuya distancia al origen es mayor que 2, estos x son todos los números mayores que 2 y los menores que -2 . Así la desigualdad
|x|>2 es equivalente a x2
Generalizando, si a>0, entonces
1) |x|>a si y sólo si xa.
Este tipo de conjunto se suele representar usando el símbolo unión ( ) y se escribe como , que significa todos los números que están en ó en .
2) |x|
Estas equivalencias entre desigualdades nos permitirán resolver desigualdades en valores absolutos al convertirlas en desigualdades sin valor absoluto. Una estrategia a utilizar será interpretar que x puede ser una expresión más complicada.
Ejemplo 1 Convertir las siguientes desigualdades en otra proposición equivalente sin valor absoluto.
a) b) c)
Solución:
a) Usamos la forma 1.
es equivalente a o .
(Note que 2x-1 hace las veces de x)
b) Usamos la forma 2. Observe que un resultado similar a 2 se cumple en el caso de la desigualdad con .
es equivalente a .
c) Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.
Como el 4 está sumando, pasa restando al otro lado
Multiplicamos por – ambos lados de la desigualdad, hay que recordar que la desigualdad cambia de sentido.
. Esta es la forma 2
Finalmente:
es equivalente a ó
-x ≥ 3-1 ó -x ≤ -3-1
-x ≥ 2 ó -x ≤ -4
x≤ -2 ó x ≥ 4
A través de la notación el conjunto solución será St = ( - ∞, -2] [ 4, + ∞ )
Ejercicio: Convertir la siguiente desigualdad en otra expresión equivalente sin valor absoluto.
Solución: Para usar algunas de las dos formas anteriores, debemos primero dejar el valor absoluto completamente despejado en el lado izquierdo de la desigualdad.
, que es equivalente a
A través de la notación el conjunto solución será St =
Para resolver completamente una desigualdad con valor absoluto, primero deberemos expresarla de una manera equivalente pero sin valor absoluto, estas últimas serán las que resolveremos con las reglas vistas anteriormente.
Ejemplo 2.- Resolver a) b)
Solución
a) es equivalente a , es decir tiene las mismas soluciones. Esta última es la que resolvemos:
Primero restamos 1 a cada lado de la desigualdad.
Dividimos entre 2 cada miembro de la desigualdad.
. Así la solución son todos los números contenidos en el
intervalo cerrado [-1,2]
b) Primero, se busca escribir esta desigualdad con el valor absoluto despejado del lado izquierdo. En la desigualdad primero pasamos el 10 restando al otro lado
Dividimos entre -3 ambos lados
Esta desigualdad es de la forma 2. Por tanto es equivalente a
ó
Este tipo de desigualdades dobles no pueden ser resueltas de la manera sintetizada como en el caso a). En el lado izquierdo resolvemos la primera y en el lado derecho resolvemos la segunda desigualdad, manteniendo el conectivo “o”
ó Sumamos 3 a cada lado de la desigualdad
ó Dividimos entre 2 ambos miembros
ó
Así las soluciones de la desigualdad es el conjunto
Representados por
El siguiente ejemplo muestra algunas desigualdades en valor absoluto cuya soluciones son triviales: R ó o un punto.
Ejemplo 3.- Resolver a) b) ; c)
Solución:
a) En la primera desigualdad estamos comparando un valor absoluto, el cuál es positivo, con un número negativo. Obviamente esta relación no se cumple para ningún x. Así la solución es el conjunto .
b) En este caso primero despejamos el valor absoluto en el lado izquierdo, dando . Para cualquier valor de x tenemos que, esto es por la propia definición de valor absoluto y por tanto mayor que -3. Así la solución de está desigualdad son todos los número reales R.
c) Como el valor absoluto siempre da una cantidad mayor o igual a 0, la única forma que se cumpla esta proposición es cuando y esto ocurre solo cuando . Así que la única solución de esta desigualdad es el punto
Comentario: Observe que el ejemplo 3a no es de la forma 2, pues a tiene que ser positivo. Por la misma razón, no es de la forma 1.
PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Daremos algunas propiedades útiles del valor absoluto:
1.- .
2.- , con .
3.- .
4.-
5.- si y sólo si análogo a ( y )
6.- si y sólo si ó
7.- si y sólo si y ó x=-a
Ejemplo 4.-
a) La ecuación es equivalente a las siguientes:
Se factoriza
Propiedad de la multiplicación
Se simplifica
Propiedad 4
b) La desigualdad es equivalente a las siguientes:
Propiedad del cociente
Propiedad 4
En ocasiones se utiliza el valor absoluto para expresar ciertas relaciones entre cantidades:
Ejemplo 5.- Escriba las siguientes proposiciones en términos de desigualdades y valores absolutos
a.- x está a más de 3 unidades de -7:
b.- x está al menos a 3 unidades de 5:
c.- x dista de 7 en menos de 3 unidades:
d.- El número de horas que trabaja una máquina sin interrupciones, x, difiere de 12 en menos de 2 horas: